Subgrup
Artikel ini membutuhkan rujukan tambahan agar kualitasnya dapat dipastikan. (Juni 2009) |
Struktur aljabar → Teori grup Teori grup |
---|
![]() |
Di teori grup, cabang matematika, diberi grup G di bawah operasi biner ∗, himpunan bagian H dari G disebut subgrup dari G jika H juga membentuk grup di bawah operasi ∗. Lebih tepatnya, H adalah subgrup dari G jika restriksi dari ∗ ke H × H adalah operasi grup di H. Ini biasanya dilambangkan H ≤ G, dibaca sebagai "H adalah subgrup dari G".
Coset dan teorema Lagrange[sunting | sunting sumber]
Diberikan subgrup H dan beberapa a di G, kita mendefinisikan kiri coset aH = {ah : h in H}. Karena a bisa dibalik, peta φ : H → aH diberikan pada φ(h) = ah adalah bijeksi. Lebih jauh, setiap elemen G terkandung tepat di satu koset kiri H ; koset kiri adalah kelas kesetaraan yang sesuai dengan relasi ekivalen a1 ~ a2 jika dan hanya jika a1−1a2 ada di H. Jumlah koset kiri H disebut indeks dari H dalam G dan dilambangkan dengan [G : H].
Teorema Lagrange menyatakan bahwa untuk grup berhingga G dan subgrup H,
dimana |G| dan |H| menunjukkan urutan dari G dan H, masing-masing. Secara khusus, urutan setiap subkelompok G (dan urutan setiap elemen G) harus berupa pembagi dari |G|.[1][2]
Contoh: Subgrup Z8[sunting | sunting sumber]
Maka G jadikan grup siklik ke Z8 maka hasil elemen
dan yang operasi grupnya adalah penambahan modulo delapan. Tabel Cayley adalah
+ | 0 | 2 | 4 | 6 | 1 | 3 | 5 | 7 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
0 | 0 | 2 | 4 | 6 | 1 | 3 | 5 | 7 |
2 | 2 | 4 | 6 | 0 | 3 | 5 | 7 | 1 |
4 | 4 | 6 | 0 | 2 | 5 | 7 | 1 | 3 |
6 | 6 | 0 | 2 | 4 | 7 | 1 | 3 | 5 |
1 | 1 | 3 | 5 | 7 | 2 | 4 | 6 | 0 |
3 | 3 | 5 | 7 | 1 | 4 | 6 | 0 | 2 |
5 | 5 | 7 | 1 | 3 | 6 | 0 | 2 | 4 |
7 | 7 | 1 | 3 | 5 | 0 | 2 | 4 | 6 |
Grup ini memiliki dua subgrup nontrivial: J={0,4} and H={0,2,4,6}, dimana J juga merupakan subgrup dari H. Tabel Cayley untuk H adalah kuadran kiri atas tabel Cayley untuk G . Grup G adalah siklik, dan juga subgrupnya.
Contoh: Subgrup S4 (grup simetris pada 4 elemen)[sunting | sunting sumber]
Setiap grup memiliki subgrup kecil sebanyak elemen netral pada diagonal utama:
The trivial group and two-element groups Z2. These small subgroups are not counted in the following list.
![]() |
Hasse diagrams of the lattice of subgroups of S4 |
12 elements[sunting | sunting sumber]
![](http://chped.net/https/upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8b/Alternating_group_4%3B_Cayley_table%3B_numbers.svg/323px-Alternating_group_4%3B_Cayley_table%3B_numbers.svg.png)
Subgroups:
![](http://chped.net/https/upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1e/Klein_four-group%3B_Cayley_table%3B_subgroup_of_S4_%28elements_0%2C7%2C16%2C23%29.svg/70px-Klein_four-group%3B_Cayley_table%3B_subgroup_of_S4_%28elements_0%2C7%2C16%2C23%29.svg.png)
![](http://chped.net/https/upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fa/Cyclic_group_3%3B_Cayley_table%3B_subgroup_of_S4_%28elements_0%2C3%2C4%29.svg/60px-Cyclic_group_3%3B_Cayley_table%3B_subgroup_of_S4_%28elements_0%2C3%2C4%29.svg.png)
![](http://chped.net/https/upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/ff/Cyclic_group_3%3B_Cayley_table%3B_subgroup_of_S4_%28elements_0%2C11%2C19%29.svg/60px-Cyclic_group_3%3B_Cayley_table%3B_subgroup_of_S4_%28elements_0%2C11%2C19%29.svg.png)
![](http://chped.net/https/upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4d/Cyclic_group_3%3B_Cayley_table%3B_subgroup_of_S4_%28elements_0%2C15%2C20%29.svg/60px-Cyclic_group_3%3B_Cayley_table%3B_subgroup_of_S4_%28elements_0%2C15%2C20%29.svg.png)
![](http://chped.net/https/upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3a/Cyclic_group_3%3B_Cayley_table%3B_subgroup_of_S4_%28elements_0%2C8%2C12%29.svg/60px-Cyclic_group_3%3B_Cayley_table%3B_subgroup_of_S4_%28elements_0%2C8%2C12%29.svg.png)
8 elements[sunting | sunting sumber]
![]() Subgroups: ![]() ![]() ![]() |
![]() Subgroups: ![]() ![]() ![]() |
![]() Subgroups: ![]() ![]() ![]() |
6 elements[sunting | sunting sumber]
![]() Subgroup: ![]() |
![]() Subgroup: ![]() |
![]() Subgroup: ![]() |
![]() Subgroup: ![]() |
4 elements[sunting | sunting sumber]
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
3 elements[sunting | sunting sumber]
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
Lihat pula[sunting | sunting sumber]
Catatan[sunting | sunting sumber]
- ^ Melihat sebuah didactic proof in this video.
- ^ S., Dummit, David (2004). Abstract algebra. Foote, Richard M., 1950- (edisi ke-3.). Hoboken, NJ: Wiley. hlm. 90. ISBN 9780471452348. OCLC 248917264.
Referensi[sunting | sunting sumber]
- Jacobson, Nathan (2009), Basic algebra, 1 (edisi ke-2nd), Dover, ISBN 978-0-486-47189-1.
- Hungerford, Thomas (1974), Algebra (edisi ke-1st), Springer-Verlag, ISBN 9780387905181.
- Artin, Michael (2011), Algebra (edisi ke-2nd), Prentice Hall, ISBN 9780132413770.
- S., Dummit, David (2004). Abstract algebra. Foote, Richard M., 1950- (edisi ke-3.). Hoboken, NJ: Wiley. ISBN 9780471452348. OCLC 248917264.